Os números imaginários e os procedimentos anteriores à Criação

A noção de número, que à primeira vista nos parece clara e intuitiva, inerente mesmo a toda compreensão do mundo, na verdade não é tão simples assim, não é um dado a priori da consciência nem surgiu espontaneamente na trajetória do homem em direção ao conhecimento. Não é simples, porque são muitos os tipos de número de que se vale a matemática, alguns deles tão estranhos que dificilmente seriam reconhecidos como tais, ou compreendidos pelos não-especialistas. Além disso, a maior parte desses tipos de números, diferentes dos números naturais (zero, um, dois, três, cem, dez mil), são fruto de elaboradas conquistas do esforço humano já em tempos históricos que, como sabemos, representam apenas uma pequena parte da longa trajetória do homem sobre a Terra.

Até mesmo a série dos números naturais, tão clara e simples que nossas crianças parecem já nascer sabendo, é algo difícil, ou mesmo inacessível, para algumas culturas ditas primitivas que, por não necessitarem de noções quantitativas precisas, contam apenas até três, ou cinco, uniformizando quantidades maiores num singelo muitos. Com o florescimento das primeiras civilizações, o que ocorreu simultaneamente em várias regiões do mundo por volta de 3500 a.C., apareceram os registros gráficos de sinais com variadas significações – ideogramas, sinais fonéticos etc. – figurando a representação das quantidades entre os primeiros desses signos. A partir do surgimento da escrita e, consequentemente, da entrada dessas culturas em sua fase histórica, as conquistas humanas foram consideravelmente aceleradas. Com o domínio das operações matemáticas vinculadas à demarcação das propriedades, aos jogos e adivinhações, ao comércio e à produção e – com maior sofisticação – ao controle do calendário, indispensável para a agricultura, a manipulação dos números naturais tornou-se uma prática corrente, embora privativa de uma restrita classe de letrados.

Em algumas civilizações, como a hindu e a maia, chegou-se a proceder ao registro de números enormes, especialmente na contagem do tempo e no estabelecimento das eras de complexos calendários, numa escala que não encontrou similar senão nos tempos modernos. É interessante notar que foi exatamente nessas duas civilizações, que manipulavam números tão grandes, que apareceu pela primeira vez a idéia e o símbolo de um número zero⁰¹. Durante milênios, após a invenção dos registros numéricos escritos e o desenvolvimento de variadas técnicas para diversas operações aritméticas, a humanidade desconheceu o conceito de zero. Foi necessário o transcurso de muitos séculos até que se descobrisse que a inexistência de algo também era uma instância numérica, do mesmo modo que fora preciso um ousado salto da imaginação para se notar que um par de dias e um casal de faisões eram ambos instâncias do número dois, como observou Bertrand Russell.

Foi o desenvolvimento das operações aritméticas que conduziu ao aparecimento de outros tipos de números que não os naturais. Assim, os números negativos surgiram como uma necessidade notacional para registrar o resultado de uma operação em que um número maior é subtraído de outro menor que ele. Os números fracionários, por sua vez, apareceram no resultado das operações de divisão em que o divisor não se ajustava bem ao dividendo, deixando uma parte, ou resíduo, que não chegava a ser uma unidade inteira daquilo que foi repartido, mas apenas um pedaço. As dificuldades começaram a se acentuar quando as divisões davam como resultados números cuja representação no sistema de notação decimal parecia não terminar nunca, como 7 dividido por 6, que produz um número representado por 1,166666666666666666..., e não adianta continuar escrevendo o algarismo 6, porque nunca se chegará a um fim. Números fracionários mais complicados surgiram quando se verificou que alguns resultados de divisões eram números cuja parte decimal era uma série de algarismos que nunca se repetiam, portanto, algo mais complicado que o exemplo anterior, onde o algarismo 6 se reproduz indefinidamente. O resultado da divisão do comprimento de uma circunferência desenrolada pelo seu diâmetro original é o número 3,141592653589793238..., chamado p (pi) cuja parte decimal, ao que tudo indica, não tem períodos repetidos, porque seu valor aproximado já foi calculado com muitos milhões de decimais, sem que se constatasse qualquer periodicidade.

Esses números especiais, ou estranhos, constituem-se em famílias que vêm sendo descobertas ao longo da história da matemática e, embora tenha havido algum interesse inicial em saber o que significavam, o que efetivamente representavam em suas relações com o mundo dito real, hoje são considerados apenas números, signos úteis na realização de cálculos e na resolução de problemas, que podem se referir a qualquer campo do mundo empírico ou da simples especulação abstrata. Novas famílias continuam a aparecer e algumas delas são tão difíceis de ser compreendidas que só especialistas ou aficionados conseguem fazer uma idéia mais ou menos clara de como se formam ou para que servem.

Mas... serão os números apenas números, meros símbolos sem significação intrínseca, simples artifícios para o processamento de cálculos? E qual será então o status existencial de cada uma dessas famílias? Seriam eles invenções humanas, como queria Leopold Kronecker, grande matemático alemão do século dezoito, para quem "só os inteiros são obra de Deus; o resto é criação dos homens"? Ou existirão por si mesmos, num plano abstrato da totalidade, num mundo platônico das formas ideais, além daquilo que costumamos chamar de realidade, como sugere o destacado matemático contemporâneo Roger Penrose, da Universidade de Oxford? Serão eles entidades descobertas, como quer Penrose, ou coisas inventadas, como admitiu Kronecker? O problema não é tão simples e nos remete a antigas divergências filosóficas que remontam à Idade Média, com a questão dos universais e as intermináveis querelas entre realistas e nominalistas.

Interessa notar que os números, qualquer que seja seu tipo ou família – naturais, negativos, fracionários, transcendentes, transfinitos, imaginários, complexos, vetores, tensores, e outras formas ainda mais esquisitas, emergentes das elucubrações dos matemáticos – todos eles estão à disposição dos cientistas para processar suas operações e investigar os diversos aspectos de um vasto mundo abstrato, cujas relações com o mundo empírico nem sempre são evidentes.

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O que tem sido destacado, no ponto de vista dos matemáticos contemporâneos, é que eles estão disponíveis e podem ser utilizados para algo, ainda que seja algo abstruso e sem fins utilitários discerníveis. "Números são apenas números", é o que se admite generalizadamente nos círculos especializados.

Com esta atitude subjacente a suas atividades, fica velado ou negligenciado pelos matemáticos um aspecto importante, mas que não parece fazer parte das suas considerações, talvez porque seja visto por eles como superficial ou irrelevante. Trata-se do fato intuitivo que as diversas famílias de números têm diferentes conexões com segmentos específicos do mundo.

É óbvio, por exemplo, que os números inteiros têm um claro vínculo com a enumeração das coleções de objetos discretos. É sua função, digamos, "natural" no mundo empírico. Pode-se falar que numa sala existem oito crianças, ou que uma frota é constituída por quinze navios, mas não é possível que numa sala existam 6,43 crianças, ou que exista uma frota de 15,217 navios. Se números assim aparecerem com referência a essas coleções serão como resultado de cálculos estatísticos ou de outra natureza, sem relação imediata com o mundo real. Isto ocorre porque as formas fracionária ou negativa dos números – para citar apenas estas – não se prestam para descrever crianças ou os navios de uma frota. Nos procedimentos abstratos do cálculo o uso de muitas das formas numéricas é legítimo, mas somente enquanto processamento intermediário. Nunca seria aceitável um resultado final, ajustado ao mundo natural, que concluísse ser o número de crianças numa determinada sala igual a 8,344, ou outra fração qualquer, simplesmente porque uma criança não é divisível em pedaços que continuem a ser crianças.

Os números negativos e fracionários também têm segmentos do cotidiano que se ajustam bem a eles. Uma conta bancária, por exemplo, pode estar com seu saldo positivo ou negativo. As propriedades inerentes aos números negativos são adequadas para descrever esses aspectos da realidade em que existimos empiricamente. É, como disse anteriormente, sua função "natural" em nosso mundo vivencial, embora nos processamentos de cálculo o grau de liberdade no uso desses números seja bem mais amplo. Números fracionários são excelentes para se repartir uma pizza, ou uma propriedade rural entre herdeiros, mas ficam totalmente inadequados para descrever outros segmentos da realidade, como vimos. Assim também são os números vetoriais, os números transcendentais, os números imaginários e todas as demais famílias que vêm surgindo ao longo da história da matemática.

Em princípio, cada uma das famílias de números têm dois âmbitos diferentes de aplicabilidade onde se podem ajustar: ou para serem operadas, ou para descreverem algo. O âmbito maior, mais flexível e amplo, é aquele que compreende suas possibilidades operacionais: os tipos de cálculo e as operações admissíveis, nos processamentos da análise matemática. O âmbito mais restrito – e pragmático, porque vinculado a fatos de variada natureza – é o que se restringe ao segmento da totalidade que essa família de números pode descrever adequadamente.

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Quero tomar, especificamente, o caso dos números imaginários, entidades matemáticas decididamente fantasmagóricas, porque a sua condição conceitual de existência é definida precisamente pela impossibilidade de existir.

Se os números negativos e fracionários surgiram como uma necessidade para representar o resultado de algumas operações aritméticas, também os números chamados imaginários foram introduzidos, relutantemente, como a representação do resultado da operação matemática conhecida como radiciação. E, do mesmo modo que a introdução dos números negativos, que séculos antes foi admitida com algum constrangimento, porque representavam uma "ausência", algo que "não estava ali", também a introdução dos números imaginários, já na idade moderna, causou profundo mal-estar e consternação entre os sábios da época, porque pretendiam representar algo cujo grau de inexistência era muito mais radical que o dos números negativos, ou do zero.

A operação aritmética da radiciação consiste em se determinar, para um número qualquer, qual o outro número – sua raiz – que, multiplicado por si mesmo um certo número de vezes, permite a obtenção daquele. A operação de multiplicar um número por si mesmo é o inverso da radiciação, e chama-se potenciação. Conforme o número de vezes que se pretenda multiplicar por si mesmo esse número, a operação é classificada como segunda potência, terceira, quarta, quinta etc. A segunda e terceira potências são chamadas também de quadrado e cubo, porque essas operações são usadas para a obtenção da área de um quadrado e do volume de um cubo. Do mesmo modo, as raízes que lhes são equivalentes denominam-se raiz quadrada e raiz cúbica.

Parece intuitivo supor que qualquer número deva ter suas raízes. Entretanto, constata-se que os números negativos, aqueles cujo valor é menor que zero, não podem ter raiz quadrada, porque qualquer número negativo multiplicado por si mesmo dá como resultado um número positivo. Ou seja, se +2 x +2 = +4, verifica-se que –2 x –2 é também igual a +4. Para se obter o número negativo –4 seria necessário multiplicar +2 por –2, porque para se obter um número negativo como produto de dois fatores é necessário que eles sejam de sinais contrários, um negativo e o outro positivo. Mas é claro que dois números com sinais diferentes não podem ser considerados como sendo o mesmo número: +2 é um número e –2 é outro número.

Como se obter, então, a raiz quadrada de um número negativo? Durante séculos, admitiu-se tacitamente que isto era impossível, ou seja, estava claro que os números negativos não podiam ter raiz quadrada. E isto limitava alguns cálculos, em que apareciam expressões algébricas que implicavam em raízes de números negativos, ainda que somente como etapas intermediárias dessas operações. Mais precisamente, verificou-se que a singela equação x² + 1 = 0 não tinha solução, porque implicava que o valor de x seria a raiz quadrada de –1 que, como era sabido, não podia existir.

Repetia-se, nos tempos modernos, uma situação equivalente aos impasses surgidos na antiguidade, quando ainda não se conheciam os números fracionários e os números negativos, ao se supor que algumas divisões não podiam ser efetuadas ou que não se podia tirar um número maior de outro menor. Mais uma vez surgia uma barreira "lógica" na evolução do pensamento, uma limitação auto-imposta pelo próprio homem, que impedia a conquista de espaços mais amplos para a investigação, a compreensão, o conhecimento. Trata-se de uma situação que ocorre com alguma frequência, e que tem feito com que a evolução do pensamento assemelhe-se a uma corrida de obstáculos – que devem ser ousadamente saltados. E foi isto o que ocorreu quando, em 1545, o matemático italiano Cardan registrou, pela primeira vez, aquilo que "não podia existir", ou que "não tinha significado", escrevendo simplesmente x =Ö -1 .

Tal como tinha ocorrido no caso dos números negativos, aqui também a simples escrita do impossível conferiu-lhe uma existência simbólica, uma existência tão legítima quanto a das demais entidades matemáticas. Estavam descobertos, ou inventados, os números imaginários. É verdade que inicialmente foram feitas todas as reservas, observando-se que se tratava de algo sem significado, fictício, impossível, místico, imaginário⁰². Euler escreveu em sua Álgebra, de 1770, que

Todas as expressões como raiz quadrada de -1 ou raiz quadrada de -2 etc. são impossíveis, ou imaginárias, já que representam raízes de quantidades negativas; e sobre tais números podemos afirmar com certeza que não são zero, nem maiores do que zero, nem menores do que zero, o que necessariamente os torna imaginários ou impossíveis.

Mas a história se repete e, pouco a pouco, os números imaginários foram sendo assimilados, apesar de considerados absurdos lógicos, passando a desempenhar um importante papel na análise matemática, especialmente sob a forma de números complexos, entidades híbridas formadas por uma parte real e outra imaginária, com a forma genérica a a + bi. Logo, se adotou a notação i para representar a unidade imaginária, fazendo i = Ö -1. Os imaginários (e os complexos) passaram a ser considerados apenas mais uma família de números, com status existencial equivalente ao das demais, úteis como instrumentos de trabalho, sem que houvesse maiores preocupações sobre o que eles poderiam significar intrinsecamente, ou seja, a que âmbito da totalidade eles mais adequadamente se ajustariam. Permaneceu apenas a vaga consideração de que raízes imaginárias, quando surgem como resultado de uma equação, são destituídas de significação lógica e devem ser desprezadas⁰³.

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Como saldo da assimilação utilitária dos imaginários ficou a noção de que haveria na matemática quatro diferentes unidades, cada uma delas com seu significado e suas propriedades, todas derivadas do Um original, que se identifica com a primordial unidade dos números inteiros, o 1 da série dos números naturais. Numa associação de memória livre dos preconceitos e limitações, próprios daqueles que se restringem à gaiola dourada das suas especialidades, lembro a significação mítica da Unidade em grande número de culturas clássicas, na Índia, na China e tantas outras civilizações da antiguidade. Recordo-me da Tábua de Esmeralda, onde Hermes Trismegisto deixou registrado que "como todas as coisas são e provém do Um, pela meditação do Um, assim, todas as coisas nascem dessa única coisa, por adaptação." Passamos então a dispor de quatro unidades distintas, cada uma delas com suas propriedades:

a) a unidade dos números reais positivos +1, ou simplesmente 1;

b) a unidade dos números reais negativos –1;

c) a unidade imaginária positiva +i, ou simplesmente i, e

d) a unidade imaginária negativa –i.

Fig. 1 – Plano de Argand-Gauss dos números complexos

Sinteticamente, 1, –1, i, –i podem ser dispostos segundo dois eixos ortogonais coordenados, determinando um plano – denominado plano de Argand-Gauss – que permite a representação dos números complexos, formados por uma parte real e outra imaginária. (v. fig.1)

Neste ponto da minha exposição quero deixar claro que a minha proposta é sugerir que o segmento da totalidade a que os números imaginários "naturalmente" se ajustam é o mundo subjetivo, o mundo psíquico, a vertente espiritual do ser, que os físicos e cosmólogos mais conservadores situam fora do seu universo, fora do seu campo de estudos, recusando-se até mesmo – os mais radicais – a lhe atribuir qualquer "realidade".

Sob este último aspecto, aliás, temos que lhes dar razão, dependendo da amplitude que atribuirmos ao significado da palavra realidade. Se entendermos que realidade é tudo aquilo que existe caímos noutro problema semântico, que consiste em estabelecer os limites de significação do verbo existir. Para não nos estendermos num tema filosófico que comporta inúmeras interpretações e posicionamentos, fixemo-nos na definição elementar de que real é tudo aquilo que se opõe complementarmente ao que é psíquico, subjetivo, abstrato, afetivo, espiritual, enfim imaginário. Para nosso conforto, voltemos à colocação cartesiana da res extensa, que se opõe à res cogitans, visão dualista do ser que, podendo embora ser contestada pelo rigor dos filósofos e cientistas que sucederam a Descartes, tem inegável valor como instrumento de percepção da totalidade que, como sabemos, só pode ser apreendida pela inteligência lógica recorrendo-se ao contraste entre opostos.

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Com esta definição deixaremos de lado, para os fins da minha exposição, a noção mais geral de realidade, admitida inclusive por Carl Gustav Jung, de que deve ser entendido como real tudo aquilo que possa interferir ou influenciar no mundo empírico. Nessa acepção, que não adotaremos aqui, o pensamento é real, as abstrações matemáticas são reais, até os sonhos e delírios de ontem à noite podem ser reais. Para os fins da minha exposição considero indispensável distinguir real de imaginário, que vejo como duas faces do ser, com diferentes aspectos e propriedades, embora sejam apenas os lados opostos e complementares da mesma moeda.

Carl Gustav Jung, entretanto, usa o termo real em seu sentido mais abrangente (lato sensu), que inclui também aquilo que chamamos de imaginário. Trata-se apenas de uma opção semântica, que não deve ser entendida como uma divergência entre a nossa concepção e a de Jung. Para designar o que Jung chama de realidade preferimos a noção de totalidade (wholeness), proposta pelo físico David Bohm, que evita a confusão entre as vertentes objetiva e subjetiva do ser. Transcrevemos um trecho de Jung em que ele define o que considera real e realidade: "Não conheço nada a respeito de uma supra-realidade. A realidade contém tudo o que podemos saber, pois aquilo que age, que atua, é real. Se não age, não podemos dar-nos conta da sua presença e, por conseguinte, não conhecemos nada a seu respeito. Por isto, eu só posso falar de coisas reais e nunca de coisas irreais, supra-reais ou sub-reais, a menos que alguém, naturalmente, tenha a idéia de limitar o conceito de real, de tal maneira que o atributo 'real' só se aplique a determinado segmento da realidade." Como se vê, valemo-nos da liberdade que o mestre Jung concede, no final do seu texto.

Como já ficou estabelecido, só podemos ter acesso ao conhecimento racional por intermédio da diferenciação proporcionada por uma dicotomia que efetuamos no ser. A Essência indiferenciada e una, Brahman, o Tai Chi dos chineses, o Inominado, a Essência primordial em sua totalidade omni-abrangente, é inacessível ao conhecimento empírico. Somente com a introdução das dualidades – equivalente à noção elementar de polaridade – torna-se possível o processo do conhecer racional, em que o ser particular realiza a percepção através do contraste primário entre sujeito e objeto, forma e fundo, informação e redundância. Desenvolvendo este tema na linguagem dos livros sagrados, teríamos:

No princípio era a Essência inominada e indiferenciada, omni-abrangente em sua plenitude suprema, a eternidade pura e sem qualidades: a Unidade primordial. Sua única concepção possível é a do número Um, que sozinho nada representa, sendo portanto igual ao zero, ao nada, ao não-ser.

Nesta instância primordial o ser é igual ao não-ser, e isto não é compreensível. Mas, pela meditação do Um, surge a idéia da duração, precisamente no limite entre o existir e o não existir. E o Um meditou sua duração: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...

Em sua duração indiferenciada o Um simultaneamente existia e não-existia. Mas nele tudo existia, potencialmente. E o Um, enquanto existente, meditou a duração da sua não-existência, concebida como sua negação: –1, –1, –1, –1, –1, –1, –1, –1, –1, –1, –1...

Em seguida, num átimo primordial da eternidade, anterior ao próprio tempo (portanto incompreensível), o Um meditou não apenas a sua negação mas também sua impossibilidade de manifestar-se como existência, auto-imanente em sua transcendência perfeita, surgindo então a expressão dessa impossibilidade absoluta que, já no mundo diferenciado, os homens passaram a representar como i: i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i...

E dessa meditação do Um, coroando sua transcendência na eternidade indiferenciada, emerge a negação dessa impossibilidade, chave que possibilita a Criação: –i, –i, –i, –i, –i, –i, –i, –i...

Só então teve início o tempo, e com ele a obra da Criação. Meditando de Si, o Um indiferenciado gerou a multiplicidade, ao estar ciente que nele tudo existia potencialmente. Retomamos aqui a noção de potentia, introduzida por Aristóteles e, desde então, subjacente ao pensamento ocidental sem no entanto frutificar plenamente até o advento da física quântica, quando foi revivescida por Heisenberg e Schrödinger para descrever o estado de uma partícula não observada. Essa existência potencial foi a instância que permitiu ao ser romper a barreira da eternidade, ao criar a informação, o quatérnio e o movimento de rotação, sem os quais a existência jamais sairia do ventre da plenitude indiferenciada.

E isto foi feito com a aplicação, aos quatro aspectos da Unidade, da operação matemática que a humanidade mais tarde redescobriria e daria o nome – significativamente, e não por acaso – de potenciação. Nos acasos e coincidências da existência escondem-se milhares de deuses.

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Peço, agora, aos que me ouvem, todo cuidado e atenção para o que pretendo mostrar, que me parece ser a primeira formulação matemática do processo divino anterior à Criação, a partir da operação de elevar as unidades primordiais a uma série de potências. Como resultado, veremos o surgimento – no mundo simbólico dos signos matemáticos – da primeira manifestação da unidade elementar de informação, o bit, do quatérnio, que é o próprio fundamento do mundo inteligível, e do movimento de rotação, que se constitui na quintessência de toda matéria e de toda energia, as duas faces do universo objetivo reconhecido pelos físicos.

Observemos, inicialmente, o que acontece se elevarmos a uma sequência de potências a unidade elementar dos números naturais, representação primária do Um indiferenciado que a tudo deu origem:

1⁰ = 1, porque qualquer número elevado à potência zero é igual à unidade positiva;

1⁰ = 1, porque qualquer número elevado à potência 1 é igual a ele próprio;

1² = 1, porque o quadrado da unidade positiva é igual a ela mesma; como de resto ocorre com qualquer potência a que se eleve, a unidade positiva sempre será igual a 1, donde se obtém a série

1⁰ = 1; 1¹ = 1; 1² = 1; 1³ = 1; 1⁴ = 1; 1⁵ = 1; 1⁶ = 1; 1⁷ = 1... etc.

Note-se que a sequência 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1..., o mantra primordial, constitui o nível máximo de redundância de um sistema, a total ausência de informação, mostrando que enquanto o Um permanece idêntico a Si Mesmo, nada pode criar.

Mas vejamos o que ocorre com o Um quando, em sua plenitude suprema, medita sua própria negação, representada no mundo simbólico da matemática como a unidade negativa –1:

–1⁰ = 1, porque qualquer número elevado à potência zero é igual a 1;

–1¹ = –1, porque qualquer número elevado à potência 1 é igual a ele próprio;

–1² = 1, porque o quadrado de um número negativo é sempre um número positivo, portanto –1 X –1 = +1;

–1³ = –1, porque isto é equivalente ao quadrado de –1, que como vimos é igual a 1, multiplicado outra vez por –1, resultando que +1 X –1 = –1; o que conduz à série:

–1⁰ = 1; –1¹ = –1; –1² = 1; –1³ = –1; –1⁴ = 1; –1⁵ = –1; –1⁶ = 1... etc.

Que vemos, então, com esta sequência 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1...? Simplesmente testemunhamos a gênese da informação, o surgimento da primeira dualidade, o primeiro contraste na unidade indiferenciada, o nascimento do bit e da linguagem binária do I Ching e dos computadores, fascínio de Leibniz, a mais elementar de todas as linguagens possíveis. No princípio é o Verbo, e o bit de informação é a semente primordial do Verbo.

O bit, a unidade elementar de qualquer linguagem, o quantum de informação, é reconhecido como o mais básico de todos os componentes do mundo diferenciado da multiplicidade, num destaque anterior às demais unidades elementares de tempo, espaço e energia, que nele se fundamentam para legitimar seu status existencial no mundo inteligível.

Vamos dar, agora, mais um passo no divino processo que antecede a Criação, examinando o que ocorrerá quando submetermos à mesma operação da potenciação a unidade seguinte, concebida na meditação do Um – a unidade imaginária i – aquela cuja condição de existência é precisamente o não existir, paradoxo primordial que nos mostra que a lógica divina é muito distinta da lógica vulgar, que tantas e tantas vezes estorva o caminho dos homens na busca do conhecimento:

i⁰ = 1, porque qualquer número elevado a zero é igual a um;

i¹ = i, porque qualquer número elevado à potência 1 é igual a ele próprio;

i² = –1, porque foi precisamente esta a gênese da unidade imaginária: i é o sinal que trouxe do limbo esta surpreendente impossibilidade lógica, a raiz quadrada da unidade negativa, portanto i² = –1;

i³ = –i, porque isto corresponde a i multiplicado por –1, o que simplesmente implica na troca do sinal, ou seja, i X –1 = –i, resultando na série:

i⁰ = 1; i¹ = i; i² = –1; i³ = –i; i⁴ = 1; i⁵ = i; i⁶ = –1; i⁷ = –i... etc.

A sequência 1, i, –1, –i, 1, i, –1, –i, 1, i, –1, –i..., como está claro, testemunha o nascimento do quatérnio, a estrutura arquetípica fundamental da Criação, conforme os mitos de origem das culturas mais antigas da humanidade, reconhecida pela antiga tradição e estudada intensivamente por Carl Gustav Jung em seus insights mais profundos sobre as bases da alquimia e do conhecimento ancestral residente nos abismos do inconsciente, comum a todos nós.

Não pretendo examinar aqui a significação profunda das estruturas em quatérnio, registrando apenas que elas correspondem, simbólica e graficamente, a dois pares de opostos que se organizam em cruz, o que é matematicamente representado pelos dois eixos das coordenadas cartesianas. No caso primordial que estamos examinando, trata-se das duas oposições negativo-positivo, que ocorrem tanto no eixo real como no eixo imaginário, formando o nosso conhecido plano de Argand-Gauss.

Certamente não escapará a um espírito arguto a significação do aparecimento dessa estrutura como resultado da potenciação (entenda-se esta como a operação que permite revelar, ou trazer à luz, aquilo que já existia potencialmente) da unidade imaginária, a unidade do que se autodefine como inexistente, a unidade daquilo que é mais impossível do que uma simples ausência, um ultraje à razão, inadmissível para a compreensão ordinária e para a lógica racional. Entretanto, é dessa operação primordial que surge a mais básica das estruturas arquetípicas, emergindo de algo mais sutil que o próprio nada, apontando com a força de sua potência abstrata para o modo como devem ser sentidos e meditados os conteúdos do imaginário, do psíquico, da vertente espiritual do ser.

Nessa estrutura primordial do quatérnio estão alicerçados os mitos de origem das culturas mais férteis da Antiguidade, as quatro direções do mundo, as quatro estações, os quatro Vedas, as quatro nobres verdades do budismo, as quatro funções da consciência, os quatro elementos e as quatro qualidades do ser, na metafísica medieval, a compreensão mais disseminada da cosmologia e da cosmogonia residentes no inconsciente da humanidade, a própria chave para a compreensão maior do Ser inefável que nos É.

Mas a nossa investigação ainda não se conclui neste ponto.

Ao registrarmos o quatérnio no plano de Argand-Gauss, gerando assim o símbolo primordial da cruz, vemos nascer também a noção de posição, a noção de origem, ou centro, a noção de expansão ilimitada, a noção de direção e, principalmente, assistimos espantados à gênese do movimento de rotação – o spin – fundamento mais íntimo do mundo físico, cuja representação mais antiga é a imemorial suástica, propulsionada pela sequência 1, i, –1, –i , 1, i, –1, –i, 1, i, –1, –i. (v. fig. 2)

Fig. 2 – Quadrantes da totalidade real-imaginária

Assim, 1, i, –1, –i, o ritmo primordial, tem aqui sua gênese detectada numa operação matemática da mais elementar simplicidade, em que nem sequer foi necessário sair da unidade para começarmos a operar com as pluralidades, que vieram depois desses procedimentos, anteriores à divina Criação do cosmos que habitamos.

Antes de concluir minhas palavras, deixando ao sabor da imaginação dos que me prestigiam com a sua atenção os inúmeros caminhos abertos por esses vislumbres, tão singelos quanto elucidativos, quero ainda mostrar como se fecha o ciclo primordial, fazendo, mais uma vez, uma potenciação, agora da unidade imaginária negativa –i, cujo significado profundo jaz além da própria capacidade humana de abstrair. Vejamos:

–i⁰ = 1, porque todo número elevado a zero é igual a Um, reiterando definitivamente o caráter absoluto do Um, como origem inescapável do tudo e do nada;

–i¹ = –i, porque qualquer número elevado à unidade é igual a ele próprio;

–i² = –1, porque ao elevar ao quadrado a unidade imaginária negativa estamos transformando-a na unidade real negativa;

–i³ = i, evidentemente, por tudo que já sabemos, o que nos dá a série:

–i⁰ = 1; –i¹ = –i; –i² = –1; –i³ = i; –i⁴ = 1; –i⁵ = –i; –i⁶ = –1; –i⁷ = i... etc.

Na sequência 1, –i, –1, i, 1, –i, –1, i, 1, –i...., fecha-se o ciclo dos ritmos primordiais: Uroboros, a serpente alquímica, com seu corpo formado por anéis reais e imaginários agora percorre em sentido contrário o plano de Argand-Gauss, pronta para morder sua própria cauda e precipitar-nos na multiplicidade, no reino do tempo que, como tudo o mais que estivemos examinando, teve sua origem no Um "como todas as coisas são e provém do Um, pela meditação do Um, assim todas as coisas nascem dessa única coisa, por adaptação."

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1. Os primeiros registros de um símbolo para o número zero apareceram, simultaneamente, no Camboja e em Sumatra, no ano 683. (J. Needham, Science and Civilization in China, vol. 3). voltar ao texto
2. Quando Gauss, Riemann e Lobatchevsky criaram as primeiras geometrias não-euclidianas, estas foram vistas pela comunidade científica, tal como as lógicas não-booleanas, como simples jogos de alta matemática, fora de contato com a "realidade". O mesmo tem acontecido com outras entidades matemáticas e ainda acontece com os números imaginários, tidos como meros recursos operacionais para efetuar cálculos, e, também, com as raízes imaginárias, que aparecem como solução de muitas equações, que são descartadas porque "não fazem sentido", ou não são "reais", confundindo-se aí o não ser real com não ser verdadeiro. O imaginário, evidentemente, não é real, porque vincula-se à vertente imaginária da totalidade: conjuga-se à vertente real - que descreve o universo físico, objetivo – para constituir a totalidade objetivo-subjetiva do ser, o unus mundus, de que nos fala C.G. Jung. voltar ao texto
3. J.C. Polkinghorne, em seu livro The Quantum World, de 1984, observa que "[A mecânica quântica] também se utiliza dos números complexos, o que é vantajoso nas ocasiões corretas, porém seria desastroso se esses números surgissem como valores eigen. A mecânica quântica pode ser peculiar, mas não chega ao ponto de nos dar, como resultado de uma experiência, a raiz quadrada de menos um." voltar ao texto

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Referências bibliográficas:

• Asimov, Isaac. Realm of Numbers. © Isaac Asimov, 1959.
• Barker, Stephen F. Philosophy of Mathematics. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1964.
• Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., 1968.
• Dantzig, Tobias. Number - The Language of Science. New York: The Macmillan Company, 4th ed., 1953.
• Davis, Philip e Reuben Hersch. Descartes' Dreams: The World According to Mathematics. New York: Harcourt Brace Jovanovich, 1986.
• Dopp, Joseph. Notions de Logique Formelle. Paris: Éditions Béatrice-Nauwelaerts, 1965.
• Edwards, Elwyn. Information Transmission. London: Chapman & Hall Ltd., 1964.
• Hall, C.S. e Vernon J. Nordby. A Primer of Jungian Psychology. New York: New American Library, Inc.
• Islam, Jamal Nazrul. An Introduction to Mathematical Cosmology. New York: The Press Syndicate of the University of Cambridge. 1993.
• Jung, C.G. Die Dynamik des Unbewussten. Walter Verlag, AG, Olten, 1971.
• Needham, J. Science and Civilization in China. Cambridge University Press, 1959.
• Peirce, Charles Sanders. Philosophical Writings. New York: Dover Publications, 1955.
• Penrose, Roger. The Emperor's New Mind – Concerning Computers, Minds and Laws of Physics. Oxford University Press, 1989.
• Polkinghorne, J.C. The Quantum World. Longman Group Limited, 1984.
• Salmon, Wesley C. Logic. New Jersey: Prentice-Hall Inc., 1965.
• Skyrms, Brian. Choice and Chance – An Introduction to Inductive Logic. Dickenson Publishing Company, Inc., 1966.
• Wilhelm, Richard. I Ging - Das Buch der Wanlungen. Dusseldorf, Köln: Eugen Diederich Verlag, 1956.

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